1. 在 Linux 系统终端中，用于列出当前目录下所含的文件和子目录的命令为（ ）。

    A.$\text{ls}$ B.$\text{cd}$ C.$\text{cp}$ D.$\text{all}$

    显然答案为 $A$。

  2. 二进制数 $00101010_{2}$ 和 $00010110_{2}$ 的和为（ ）。

    A.$00111100_{2}$ B.$01000000_{2}$ C.$00111100_{2}$ D.$01000010_{2}$

    显然答案为 $B$。

  3. 在程序运行过程中，如果递归调用的层数过多，可能会由于（ ）引发错误。

    A.系统分配的栈空间溢出

    B.系统分配的队列空间溢出

    C.系统分配的链表空间溢出

    D.系统分配的堆空间溢出

    递归调用的是栈空间，所以选 $A$。

  4. 以下排序方法中，（ ）是不稳定的。

    A.插入排序 B.冒泡排序 C.堆排序 D.归并排序

    除了堆排序，其他都是稳定的，所以选 $C$。

  5. 以比较为基本运算，对于 $2n$ 个数，同时找到最大值和最小值，最坏情况下需要的最小的比较次数为（ ）。

    A.$4n-2$ B.$3n+1$ C.$3n-2$ D.$2n+1$

    首先可以比较 $n$ 次，分出 $a_{i\times 2-1}$ 与 $a_{i*2}$ 中较小的与较大的。显然最小数必然在较小的那组，最大数必然在较大的那组，由于第一个数不用比较，所以最少的比较次数为 $3n-2$，选 $C$。

  6. 现有一个地址区间为 $0\sim 10$ 的哈希表，对于出现冲突情况，会往后找第一个空的地址存储 （到 $10$ 冲突了就从 $0$ 开始往后），现在要依次存储 $(0,1,2,3,4,5,6,7)$，哈希函数为 $h(x)=x^{2} \bmod {11}$。请问 $7$ 存储在哈希表哪个地址中（ ）。

    A.$5$ B.$6$ C.$7$ D.$8$

    $h(0)=0$；

    $h(1)=1$；

    $h(2)=4$；

    $h(3)=9$；

    $h(4)=5$；

    $h(5)=4$，因为 $4$，$5$ 都有了，所以 $h(5)=6$；

    $h(6)=3$；

    $h(7)=5$，因为 $5$，$6$ 都有了，所以 $h(7)=7$。

    所以选 $C$。

  7. $G$ 是一个非连通简单无向图（没有自环和重边），共有 $36$ 条边，则该图至少有（ ）个点。

    A.$8$ B.$9$ C.$10$ D.$11$

    首先 $9$ 个点最多可以有 $\dfrac{9\times 8}{2}=36$ 条边，但因为 $G$ 是非联通图，于是再加一个点独立成为一个连通块，所以答案为 $C$。

  8. 令根结点的高度为 $1$，则一棵含有 $2021$ 个结点的二叉树的高度至少为（ ）。

    A.$10$ B.$11$ C.$12$ D.$2021$

    显然高度为 $n$ 的最多有 $2^{n}-1$ 的节点，带入算即可，选 $B$。

  9. 前序遍历和中序遍历相同的二叉树为且仅为（ ）。

    A.只有 $1$ 个点的二叉树

    B.根结点没有左子树的二叉树

    C.非叶子结点只有左子树的二叉树

    D.非叶子结点只有右子树的二叉树

    前序遍历是先访问根节点，再访问左节点，最后访问右节点；

    中序遍历是先访问左节点，再访问根节点，最后访问右节点；

    不难发现如果都没有左节点，前序遍历和中序遍历就是一样的。

    答案选 $D$。

  10. 定义一种字符串操作为交换相邻两个字符。将 $\texttt{DACFEB}$ 变为 $\texttt{ABCDEF}$ 最少需要 ( ) 次上述操作。

    A.$7$ B.$8$ C.$9$ D.$6$

    操作如下：

    $0:\texttt{DACFEB}$；

    $1:\texttt{ADCFEB}$；

    $2:\texttt{ADCFBE}$；

    $3:\texttt{ADCBFE}$；

    $4:\texttt{ADBCFE}$；

    $5:\texttt{ABDCFE}$；

    $6:\texttt{ABCDFE}$；

    $7:\texttt{ABCDEF}$；

    选 $A$。

  11. 有如下递归代码

    1
    2
    3
    solve(t,n):
      if t=1 return 1
      else return 5*solve(t-1,n) mod n

    则 solve(23,23) 的结果为（ ）。

    A.$1$ B.$7$ C.$12$ D.$22$

    不难发现答案为 $5^{22}\bmod 23$，即为 $1$，选 $A$。

  12. 斐波那契数列的定义为： $F_{1}=1$，$F_{2}=1$，$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ $(n\geq 3)$。现在用如下程序来计算斐波那契数列的第 $n$ 项，其时间复杂度为（ ）。

    1
    2
    3
    F(n):
      if n<=2 return 1
      else return F(n-1) + F(n-2)

    A.$O(n)$

    B.$O(n^{2})$

    C.$O(2^{n})$

    D.$O(n\log n)$

    模拟一下 $n=5$ 的情况：

    可以发现这与满二叉树非常相似，于是选 $C$。

  13. 有 $8$ 个苹果从左到右排成一排，你要从中挑选至少一个苹果，并且不能同时挑选相邻的两个苹果，一共有（ ）种方案。

    A.$36$ B.$48$ C.$54$ D.$64$

    选一个苹果：$8$ 种；

    选两个苹果：$6+5+4+3+2+1=21$ 种；

    选三个苹果：$(4+3+2+1)+(3+2+1)+(2+1)+1=20$种；

    选四个苹果：$(2+1)+1+1=5$ 种；

    所以总共有 $8+21+20+5=54$ 种，选 $C$。

  14. 设一个三位数 $n=\overline{abc}$，$a,b,c$ 均为 $1\sim 9$ 之间的整数，若以 $a$、 $b$、 $c$ 作为三角形的三条边可以构成等腰三角形（包括等边），则这样的 $n$ 有（ ）个。

    A.$81$ B.$120$ C.$165$ D.$216$

    $a=b=c$：$9$ 种；

    $a=b=1$，$a\not= c$：$0<c<2$，$0$ 种；

    $a=b=2$，$a\not= c$：$0<c<4$，$2$ 种；

    $a=b=3$，$a\not= c$：$0<c<6$，$4$ 种；

    $a=b=4$，$a\not= c$：$0<c<8$，$6$ 种；

    $a=b=5$，$a\not= c$：$0<c<10$，$8$ 种；

    $a=b=6$，$a\not= c$：$0<c<10$，$8$ 种；

    $a=b=7$，$a\not= c$：$0<c<10$，$8$ 种；

    $a=b=8$，$a\not= c$：$0<c<10$，$8$ 种；

    $a=b=9$，$a\not= c$：$0<c<10$，$8$ 种；

    接下来还有 $b=c$，$a=c$，与 $a=b$ 种数相同。

    于是答案为 $9+(0+2+4+6+8+8+8+8+8)\times 3=165$ 种，选 $C$。

  15. 有如下的有向图，节点为 $A,B,\cdots ,J$, 其中每条边的长度都标在图中。则节点 $A$ 到节点 $J$ 的最短路径长度为（ ）。

    A.$16$ B.$19$ C.$20$ D.$22$

    如图中红色路径：

    答案为 $B$。

  1. 将第 $21$ 行中 $t$ 的类型声明从 int 改为 double， 不会 影响程序运行的结果。（）

    正确，因为 $sq$ 函数返回值也是 int 不会有影响。

  2. 将第 $26$、$27$ 行中的 / sqrt(t) / 2替换为 / 2 / sqrt(t)，不会影响程序运行的结果。（ ）

    错误，因为先除以 $\text{sqrt}$ 会将类型强制转为 double，而先除以 $2$ 不会。

  3. 将第 $28$ 行中的 x * x 改成 sq(x)、y * y 改成 sq(y)，不会影响程序运行的结果。（ ）

    错误，x*x 返回的是 double，而 sq(x) 返回的是 int。

  4. 当输入为 0 0 0 1 1 0 0 1 时，输出为 1.3090 ( )

    正确，手动模拟一下即可。其中 $r$ 为 $\dfrac{\pi}{3}$。

  5. 当输入为 1 1 1 1 1 1 1 2 时，输出为（ ）。

    A.3.1416

    B.6.2832

    C.4.7124

    D.4.1888

    也是手动模拟一下即可，选 $D$。

  6. 这段代码的含义为（ ）。

    A.求圆的面积并

    B.求球的体积并

    C.求球的体积交

    D.求椭球的体积并

    注意到 $r=\dfrac{\pi}{3}$，而球的体积公式为 $V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}$；第 $23$ 输出的是 $\min(d_{1},d_{2})$，于是可以想到是求球的体积交，选 $C$。

  1. 程序总是会正常执行并输出两行两个相等的数。（ ）

    正确，solve1 和 solve2 都是在求最大子段和。

  2. 第 $28$ 行与第 $38$ 行分别有可能执行两次及以上。（ ）

    错误，二分到边界时，只会出现 $h=m$ 的情况，如果输入的 $n<0$，则回执行一次。

  3. 当输入为 5 -10 11 -9 5 -7 时，输出的第二行为 7。( )

    错误，最大子段和为 11，注意第一个数是 $n$。

  4. solve1(1, n) 的时间复杂度为（ ）。

    A.$O(\log n)$

    B.$O(n)$

    C.$O(n \log n)$

    D.$O(n^{2})$

    $T(n)=2\times T(\dfrac{n}{2})+1$，$T(n)=2\times n-1$，选 $B$。

  5. solve2(1, n) 的时间复杂度为（ ）。

    A.$O(\log n)$

    B.$O(n)$

    C.$O(n \log n)$

    D.$O(n^{2})$

    $T(n)=2\times T(\dfrac{n}{2})+n$，复杂度是 $O(n\log n)$，选 $C$。

  6. 当输入为 10 -3 2 10 0 -8 9 -4 -5 9 4 时，输出的第一行为（ ）。

    A.$13$

    B.$17$

    C.$24$

    D.$12$

    最大子段为 2 10 0 -8 9 -4 -5 9 4，同样需要注意第一个 $10$ 是 $n$，选 $B$。

  1. 程序总是先输出 一行 一个整数，再输出 一行 一个字符串。（ ）

    错误，解密的字符串中可能有换行符。

  2. 对于任意不含空白字符的字符串 str1，先执行程序输入 0 str1，得到输出的第二行记为 str2 再执行程序输入 1 str2，输出的第二行必为 str1。（ ）

    正确，就是解密与加密。

  3. 当输入为 1 SGVsbG93b3JsZA== 时，输出的第二行为 HelloWorld。( )

    错误，手动模拟一下发现答案是 Helloworld。

  4. 设输入字符串长度为 $n$，encode 函数的时间复杂度为（ ）。

    A.$O(\sqrt{n})$

    B.$O(n)$

    C.$O(n\log n)$

    D.$O(n^2)$

    显然是 $O(n)$，选 $B$。

  5. 输出的第一行为（ ）。

    A.0xff

    B.255

    C.0xFF

    D.-1

    是 $-1$，可能是操作系统的问题，选 $D$。

  6. 当输入为 0 CSP2021csp 时，输出的第二行为（ ）。

    A.Q1NQMjAyMWNzcAv=

    B.Q1NQMjAyMGNzcA==

    C.Q1NQMjAyMGNzcAv=

    D.Q1NQMjAyMWNzcA==

    还是要手动模拟，选 $D$。

（魔法数字） 小 H 的魔法数字是 $4$。给定 $n$， 他希望用若干个 $4$ 进行若干次加法、减法和整除运算得到 $n$。但由于小 H 计算能力有限，计算过程中只能出现不超过 $M=10000$ 的正整数。求至少可能用到多少个 $4$。
例如，当 $n=2$ 时，有 $2=\dfrac{4 + 4}{4}$，用到了 $3$ 个 $4$，是最优方案。

  1. ①处应填（ ）

    A.F[4] = 0

    B.F[1] = 4

    C.F[1] = 2

    D.F[4] = 1

    得到 $4$ 只需要 $1$ 次，于是 F[4]=1，选 $D$。

  2. ②处应填（ ）

    A.!Vis[n]

    B.r < n

    C.F[M] == INT_MAX

    D.F[n] == INT_MAX

    如果它已经能作为一个最小值可以去更新其他的数，即 Vis[n]==1 时答案最优，选 $A$。

  3. ③处应填（ ）

    A.F[i] == r

    B.!Vis[i] && F[i] == r

    C.F[i] < F[x]

    D.!Vis[i] && F[i] < F[x]

    首先得保证当前的 $i$ 不是最优，即 Vis[i]=0，然后找出 F[i] 中的最小值，选$D$。

  4. ④处应填（ ）

    A.F[i] < F[x]

    B.F[i]<=r

    C.Vis[i]

    D.i <= x

    保证当前的 $i$ 最优即可，用 $x$ 与 $i$ 去更新下一个数，选 $C$。

（ RMQ 区间最值问题）给定序列 $a_0,\cdots,a_{n-1}$，$m$ 次询问，每次询问给定 $l,r$，求 $\max \{a_l,\ …,a_r\}$。
为了解决该问题，有一个算法叫 the Method of Four Russians，其时间复杂度为 $O(n+m)$ ，步骤如下：
建立 Cartesian（笛卡尔）树，将问题转化为树上的 LCA（最近公共祖先）问题。
对于 LCA 问题，可以考虑其 Euler 序（即按照 DFS 过程，经过所有点，环游回根的序列），即求 Euler 序列上两点间一个新的 RMQ 问题。
注意新的问题为 $\pm 1$ RMQ，即相邻两点的深度差一定为 $1$。
下面解决这个 $\pm 1$ RMQ 问题，“序列”指 Euler 序列：
设 $t$ 为 Euler 序列长度。取 $b=\lceil \frac{\log_2 t}{2} \rceil$ 将序列每 $b$ 个分为一大块，使用 ST 表（倍增表）处理大块间的 RMQ 问题，复杂度 $O(\frac{t}{b}\log t)=O(n)$
（重点） 对于一个块内的 RMQ 问题，也需要 $O(1)$ 的算法。由于差分数组 $2^{b-1}$ 种，可以预处理出所有情况下的最值位置，预处理复杂度 $O(b2^b)$，不超过 $O(n)$。
最终，对于一个查询，可以转化为中间整的大块的 RMQ 问题，以及两端块内的 RMQ 问题。
试补全程序。

  1. ①处应填（ ）

    A.p->son[0] = S[top--]

    B.p->son[1] = S[top--]

    C.S[top--]->son[0] = p

    D.S[top--]->son[1] = p

  2. ②处应填（ ）

    A.p->son[0] = S[top]

    B.p->son[1] = S[top]

    C.S[top]->son[0] = p

    D.S[top]->son[1] = p

  3. ③处应填（ ）

    A.x->dep < y->dep

    B.x < y

    C.x->dep > y->dep

    D.x->val < y->val

  4. ④处应填（ ）

    A.A[i * b + j - 1] == A[i * b + j]->son[0]

    B.A[i * b + j]->val < A[i * b + j - 1]->val

    C.A[i * b + j] == A[i * b + j - 1]->son[1]

    D.A[i * b + j]->dep < A[i * b + j - 1]->dep

  5. ⑤处应填（ ）

    A.v += (S >> i & 1) ? -1 : 1

    B.v += (S >> i & 1) ? 1 : -1

    C.v += (S >> (i - 1) & 1) ? 1 : -1

    D.v += (S >> (i - 1) & 1) ? -1 : 1

  6. ⑥处应填（ ）

    A.(Dif[p] >> (r - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1)

    B.Dif[p]

    C.(Dif[p] >> (l - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1)

    D.(Dif[p] >> ((p + 1) * b - r)) & ((1 << (r - l + 1)) - 1)

神仙题，不会，答案是 $ADADDC$。